Méthodes numériques et simulations

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Programme

La physique des plasmas, qui s’organisait traditionnellement selon une comparaison théorie/expérience, s’est progressivement structurée selon un triptyque associant théorie et modélisation, simulation numérique et vérification expérimentale.

L’objectif de ce module est double :
(i) familiariser les étudiants à la simulation numérique en leur présentant les différentes techniques d’algorithmique et en les appliquant à des modèles-type utilisés en physique des plasmas
(ii) leur offrir une première expérience en simulation numérique par l’utilisation de codes numériques particuliers. Ce dernier aspect a pour volonté affichée de présenter à travers des travaux pratiques effectués sur des codes numériques accessibles, des phénomènes physiques plasmas complexes, transverse aux différentes UEs du master, et reposant sur l’expertise reconnue des numériciens de ces UEs.

Enseignement :

I. Nature des équations à résoudre
I.1 Équations de conservation (fluide), équations de propagation, description Lagrangienne
I.2 Classification des équations aux dérivées partielles d’ordre ≤ 2 (équations paraboliques, elliptiques, hyperboliques)
I.3 Grandes classes de méthodes numériques
– Méthodes de différences et volumes finis – Méthodes spectrales
– Méthode des éléments finis

II. Notions de stabilité, de convergence et de consistance
II.1 Définitions, théorème de Lax
II.2 Description d’une instabilité numérique

III. Techniques d’analyse de stabilité linéaire
III.1 Méthode de von Neumann
III.2 Méthode matricielle

IV. Analyse des schémas de discrétisation des termes instationnaire et de diffusion
IV.1 Schémas à deux pas de temps (Euler explicite, Beta-implicite)
IV.2 Schémas à trois pas de temps (Leapfrog, Adams-Bashforth)

V. Discrétisation des termes d’advection
V.1 Formes conservative et non conservative
V.2 Stabilité des schémas centrés (critère CFL)
V.3 Schémas upwind et diffusion numérique

VI. Équations parabolique en plusieurs dimension d’espace
VI.1 Stabilité des schémas explicites
VI.2 Schémas implicites, méthode des directions alternées

VII. Équations elliptiques
VII.1 Résolution de l’équation de Poisson par la méthode de Gauss-Seidel
VII.2 Techniques de relaxation
VII.3 Méthode des directions alternées

VIII. Équations hyperboliques
VIII.1 Réduction à un système d’équations du premier ordre
VIII.2 Méthode des caractéristiques
VIII.3 Méthodes explicites
VIII.4 Méthodes implicites

IX. Traitement des termes non linéaires
IX.1 Méthode de Newton-Raphson
IX.2 Méthode de linéarisation de Briley-Mc Donald

X. Exemples d’algorithmes pour la simulation des écoulements incompressibles
X.1 Méthodes basées sur des solveurs de pression (SIMPLE, PISO, …)
X.2 Méthodes de type fonction de courant-vorticité

XI. Méthodes spécifiques aux équations de transport de type rayonnement
XI.1 Méthodes de Monte Carlo
– Génération de nombres aléatoires selon une densité de probabilité
– Convergence de la méthode et techniques d’accélération
XI.2 Méthode des ordonnées discrètes
XI.3 Méthodes des harmoniques sphériques

Responsables

anouar.soufiani@ecp.fr

Intervenants

Anouar Soufiani : CentraleSupélec
Anne Bourdon : CNRS
Andrea Ciardi : Sorbonne Université
Pierre Morel : UPSAy

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